Ragam dan Simpangan Baku

Ragam [varian] dan Simpangan Baku [Standar Deviasi] merupakan bagian dari ukuran penyebaran data. Ragam dan Simpangan Baku menggambarkan keragaman data statistik yang sering digunakan dalam pengambilan keputusan.

Ragam dan Simpangan Baku masih berhubungan dengan rata-rata. Ragam dihitung dengan cara mengurangi setiap data dengan rata-ratanya. Hasil pengurangan ini masing-masing dikuadratkan, kemudian dijumlahkan. Hasil penjumlahan ini dibagi dengan banyaknya data. Sementara simpangan baku merupakan akar kuadrat dari ragam. Berarti, jika ragam diketahui maka simpangan baku juga akan diketahui, begitu juga sebaliknya.

Secara matematis, Ragam dirumuskan sebagai berikut.

\[S^{2}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\bar{x})^{2}\]

Karena Simpangan Baku adalah akar kuadrat dari Ragam, maka Simpangan Baku dirumuskan:

\[S=\sqrt{S^{2}}\]

\[S=\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\bar{x})^{2}}\]

dengan:

$S^{2}$ adalah ragam,

$S$ adalah simpangan baku,

$x_{i}$ adalah data ke-i,

$\overline{x}$ adalah rata-rata,

$n$ adalah banyaknya data.

Contoh 1.

Hitunglah simpangan baku dari data 5, 9, 7, 6, 7, 8, 12, 10!

Jawab.

Banyak data tersebut adalah 8, berarti $n=8$.

Menghitung rata-rata:

$\bar{x}=\frac{5+9+7+6+7+8+12+10}{8}$

$\bar{x}=\frac{64}{8}=8$

Simpangan Baku:

\[S=\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\bar{x})^{2}}\]

$S=\sqrt{\frac{1}{8}.\left ((5-8)^{2}+(9-8)^{2}+(7-8)^{2}+(6-8)^{2}+(7-8)^{2}+(8-8)^{2}+(12-8)^{2}+(10-8)^{2}\right )}$

$S=\sqrt{\frac{1}{8}.((-3)^{2}+(1)^{2}+(-1)^{2}+(-2)^{2}+(-1)^{2}+(0)^{2}+(4)^{2}+(2)^{2})}$

$S=\sqrt{\frac{1}{8}.(9+1+1+4+1+0+16+4)}$

$S=\sqrt{\frac{1}{8}.(36)}$

$S=\sqrt{\frac{36}{8}}$

$S=\sqrt{\frac{18}{4}}=\frac{3}{2}\sqrt{2}$

atau

$S=\sqrt{\frac{36}{8}}$

$S=\sqrt{4,5}=2,12$

Jadi, simpangan baku data 5, 9, 7, 6, 7, 8, 12, 10 adalah $\frac{3}{2}\sqrt{2}$ atau 2,12.

Untuk memperjelas penyelesaian di atas, perhatikan video berikut.

Contoh 2.

Hitunglah ragam dan simpangan baku data tinggi badan berikut [dalam cm].

165, 159, 164, 170, 168, 161, 159, 167, 166, 171.

Jawab.

Banyaknya data adalah 10, berarti $n=10$.

Rata-rata data adalah:

$\bar{x}=\frac{165+159+164+170+168+161+159+167+166+171}{10}$

$\bar{x}=\frac{1650}{10}=165$

Menghitung ragam:

Gunakan tabel untuk membantu perhitungan ragam.

$x_{i}$	$x_{i}-\bar{x}$	$(x_{i}-\bar{x})^{2}$
165	165-165 = 0	0
159	159-165 = -6	36
164	164-165 = -1	1
170	170-165 = 5	25
168	168-165 = 3	9
161	161-165 = -4	16
159	159-165 = -6	36
167	167-165 = 2	4
166	166-165 = 1	1
171	171-165 = 6	36
	Jumlah	164

Dari hasil perhitungan dalam tabel, diperoleh jumlah $(x_{i}-\bar{x})^{2}$ adalah 164 atau

\[\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\bar{x})^{2}=164\]

Sehingga:

\[S^{2}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\bar{x})^{2}\]

\[S^{2}=\frac{1}{10}.(164)\]

\[S^{2}=\frac{164}{10}\]

\[S^{2}=16,4\]

Simpangan baku:

\[S=\sqrt{S^{2}}\]

\[S=\sqrt{16,4}\]

\[S=4,05\]

Jadi, ragam data di atas adalah 16,4 dan simpangan bakunya adalah 4,05

Untuk mengecek pemahaman pada materi ini, cobalah soal latihan berikut.

Latihan

A. Hitunglah ragam dan simpangan baku data berikut.

7, 5, 8, 4, 6.
65, 75, 87, 61, 58, 60, 74, 80.
90, 85, 67, 75, 80, 87, 74, 77, 83, 82.
167, 165, 162, 170, 164, 155, 165.

B. Data hasil pengukuran tegangan sampel baterai telepon selluler yang diproduksi oleh "Yasa Elektronik" adalah sebagai berikut [satuan volt]: 3,7; 3,9; 3,7; 3,8; 4,1; 4,0; 4,2; 3,6; 3,9; dan 4,1. Untuk memastikan kualitas hasil produksi, nilai simpangan baku hasil pengukuran dibandingkan dengan tabel kriteria. Tabel yang dipergunakan sebagai pembanding adalah: