Permutasi dengan Unsur Sama dan Permutasi Siklis

Permutasi dengan Unsur Sama

Contoh 1.

Jika huruf-huruf dari kata "SUSU" disusun sebanyak 3 huruf, berapa banyak susunan berbeda yang dapat dibuat?

Penyelesaian:

Susunan 3 huruf dari huruf-huruf pada kata "SUSU" adalah:

SUS

SSU

USS

SUU

USU

UUS

Jadi, ada 6 susunan huruf yang dapat dibuat.

Contoh 1 di atas adalah salah satu contoh permutasi dengan unsur sama. Cara lain penentuan permutasi unsur sama adalah sebagai berikut. Jika sebanyak $r$ unsur diambil dari $n$ unsur dengan $k$, $l$, atau $m$ unsur yang sama, maka banyak susunan yang dapat dibuat adalah:

\[_{n}P_{r}(k,l,m)=\frac{n!}{(n-r)!. k!. l!. m!}\]

dengan:

$k, l, m$ : unsur yang sama

Sekarang kita coba menyelesaikan Contoh 1 dengan rumus.

Diketahui:

Banyak huruf pada kata SUSU adalah 4, $n=4$

Banyak huruf yang akan disusun adalah 3, $r=3$

Huruf yang sama adalah $s=2$ dan $u=2$

Ditanya:

$_{4}P_{3}(2,2)=...$

Penyelesaian:

$_{4}P_{3}(2,2)=\frac{4!}{(4-3)!. 2!.2!}$

$=\frac{4!}{1!. 2!.2!}$

$=\frac{4.3.\not{2!}}{1.2.1.\not{2!}}$

$=\frac{12}{2}$

$=6$

Jadi, ada 6 susunan huruf yang dapat dibuat.

Contoh 2.

Jika huruf-huruf dari kata "JAKARTA" disusun sebanyak tiga huruf, berapa banyak susunan berbeda yang dapat dibuat?

Jawab:

Diketahui:

Banyak huruf pada kata JAKARTA adalah 7, $n=7$

Banyak huruf yang akan disusun adalah 3, $r=3$

Huruf yang sama adalah $a=3$

Ditanya:

$_{7}P_{3}(3)=...$

Penyelesaian:

$_{7}P_{3}(3)=\frac{7!}{(7-3)!.3!}$

$=\frac{7!}{4!.3!}$

$=\frac{7.6.5.\not{4!}}{\not{4!}.3.2.1}$

$=\frac{7.6.5}{3.2.1}$

$=\frac{7.6.5}{6}$

$=\frac{7.\not{6}.5}{\not{6}}$

$=7.5$

$=35$

Jadi banyak susunan yang dapat dibuat adalah 35 susunan.

Contoh 3.

Berapa banyak susunan berbeda dari huruf-huruf pada kata "WIYATA"?

Jawab:

Diketahui:

Banyak huruf pada kata WIYATA adalah 6, $n=6$

Banyak huruf yang akan disusun adalah semua hurufnya, $r=6$

Huruf yang sama adalah $a=2$

Ditanya:

$_{6}P_{6}(2)=...$

Penyelesaian:

$_{6}P_{6}(2)=\frac{6!}{(6-6)!.2!}$

$=\frac{6!}{0!.2!}$

$=\frac{6.5.4.3.\not{2!}}{1.\not{2!}}$

$=6.5.4.3$

$=360$

Jadi, banyak susunan berbeda dari huruf-huruf pada kata "WIYATA" adalah sebanyak 360 susunan.

Contoh 4.

Sebuah rak buku akan diisi dengan 4 buku matematika, 3 buku komputer, 2 buku otomotif, dan 3 buku perhotelan. Jika semua jenis buku bisa dicampurkan tempatnya, berapa banyak susunan berbeda yang dapat dibuat?

Jawab:

Diketahui:

Banyak buku semuanya adalah 12, $n=12$

Banyak buku yang akan disusun adalah semuanya, $r=12$

Buku yang sama adalah matematika 4 buku, $m=4$,

komputer 3 buku, $k=3$

otomotif 2 buku, $o=2$

perhotelan 3 buku, $p=3$

Ditanya:

$_{12}P_{12}(4,3,2,3)=...$

Penyelesaian:

$_{12}P_{12}(4,3,2,3)=\frac{12!}{(12-12)!.4!3!2!3!}$

$=\frac{12!}{0!.4!3!2!3!}$

$=\frac{12.11.10.9.8.7.6.5.\not{4!}}{\not{4!}.3.2.1.2.1.3.2.1}$

$=\frac{12.11.10.9.8.7.6.5}{12.6}$

$=\frac{\not{12}.11.10.9.8.7.\not{6}.5}{\not{12}.\not{6}}$

$=11.10.9.8.7.5$

$= 227.200$

Jadi, banyak susunan berbeda yang dapat dibuat adalah 227.200 susunan.

Permutasi Siklis

Jika ada lima orang sedang duduk pada tempat yang bentuknya melingkar, kita bisa membuat berbagai susunan duduk kelima orang tersebut. Berapakah banyaknya susunan duduk melingkar kelima orang tersebut?

Permutasi Siklis digunakan untuk menghitung banyaknya susunan unsur yang disusun secara melingkar.

Banyaknya susunan $n$ unsur yang disusun melingkar adalah sebagai berikut.

\[_{n}P_{siklis}=(n-1)!\]

Contoh 5.

Agus, Budi, Candra, dan Dewi duduk di kantin pada kursi yang mengitari sebuah meja bundar. Berapakah banyaknya susunan duduk melingkar keempat orang tersebut?

Jawab.

Diketahui:

Banyak unsur adalah 4, $n=4$

Ditanya:

$_{6}P_{siklis}=...$

Penyelesaian:

$_{n}P_{siklis}=(n-1)!$

$_{4}P_{siklis}=(4-1)!$

$=3!$

$=3.2.1$

$=6$

Jadi, banyaknya susunan duduk melingkar keempat orang tersebut adalah 6 susunan.

Latihan

Huruf-huruf dari kata "SOSIOLOGI" akan disusun sebanyak 3 huruf. Berapa banyak susunan berbeda yang dapat dibuat?
Huruf-huruf dari kata "MATEMATIKA" akan disusun sebanyak 4 huruf. Berapa banyak susunan berbeda yang dapat dibuat?
Berapa banyak susunan berbeda dari huruf-huruf pada kata "SUSUIBU"?
Lima anak bermain kartu, mereka duduk mengelilingi sebuah meja bundar. Berapa banyak susunan duduk kelima anak tersebut?

Sociomath

Permutasi dengan Unsur Sama dan Permutasi Siklis